Question

2．已知函数y=$\frac{a{x}^{2}+bx+6}{{x}^{2}+2}$的最小值为2，最大值为6，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 根据题意把函数解析式进行变形，根据一元二次方程根的判别式解答即可．

解答 解：函数解析式变形为：yx²+2y=ax²+bx+6，
即（a-y）²+bx+6-2y=0，
由题意得，△=b²-4×（a-y）（6-2y）≥0，
整理得，y²-（3+a）y+3a-$\frac{{b}^{2}}{8}$≤0，
则2和6是方程y²-（3+a）y+3a-$\frac{{b}^{2}}{8}$=0的两个根，
∴3+a=2+6，3a-$\frac{{b}^{2}}{8}$=2×6，
解得，a=5，b=±2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是二次函数的最值的求法，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．