Question

9．如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．

（1）旋转中心是点A；
（2）旋转角是90度； 
（3）如果连接EF，那么△AEF是等腰直角 三角形．
（4）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．
求证：EF=BE+DF．

Answer 1

分析 （1）根据图形旋转的概念可得，旋转中心是点A；
（2）根据图形旋转的概念可得，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）根据等腰直角三角形的判定方法进行判断即可；
（4）运用旋转变换，将△ABE绕A点逆时针旋转90⁰，得到△ADE′，再判定△EAF≌△E′AF（SAS），进而得到EF=E′F，再根据E′F=DF+DE′，E′D=BE，得出EF=BE+DF．

解答 解：（1）由图1可得，旋转中心是点A，
故答案为：点A；

（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，
故答案为：90；

（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；

（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，
因为∠EAF=45°，
所以∠BAE+∠DAF=45°，
因为∠BAE=∠DAE′，
所以∠FAE′=45°，
所以∠FAE′=∠FAE，
因为∠ADE′=∠ADF=90°，
所以E'、D、F三点共线，
又因为AF=AF，AE=AE′，
所以△EAF≌△E′AF（SAS），
所以EF=E′F，
因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，
所以EF=BE+DF．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．