Question

【题目】如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．

（1）求C′点的坐标；

（2）求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；

（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；

（4）在（3）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) C′（3，）(2) y=x2﹣x (3) y=x+（4）存在

【解析】分析：（1）作C′H⊥x轴，如图②，利用等边三角形和旋转的性质得到AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，则∠C′AH=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算出AH=1，C′H=，从而得到C′点的坐标；

（2）设抛物线解析式为y=ax（x﹣2），然后把C′点坐标代入求出a即可

（3）利用切线的性质得AB⊥BF，则利用∠FAB=60°得到FA=2AB=4，所以F（﹣2，0），再判断四边形AOBC′为菱形，则可写出B（1，），然后利用待定系数法求直线BF的解析式；

（4）先抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣），再判断△OBF为顶角为120°的等腰三角形，讨论：当AM=AO=2时，点M与点C′重合，△BOF与△AOM相似，易得此时M点的坐标；当OM=OA时，点M与点C′关于直线x=1对称，△BOF与△AOM相似，易得此时M点坐标；当MA=MO时，点M为抛物线的顶点时，∠OAM=120°，可判断△BOF与△AOM相似，从而得到此时M点的坐标．

详解：（1）作C′H⊥x轴，如图②．

∵△CDE和△OAB为全等的等边三角形，而三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°得到△C′ED，∴AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，∴∠C′AH=60°，∴AH=AC′=1，C′H=AH=，∴C′（3，）；

（2）设抛物线解析式为y=ax（x﹣2），把C′（3，）代入得：a31=，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣x；

（3）∵BF为⊙G的切线，∴AB⊥BF，而∠FAB=60°，∴FA=2AB=4，∴F（﹣2，0）．

∵OB=OA=AC′=BC′=2，∴四边形AOBC′为菱形，∴B（1，），设直线BF的解析式为y=kx+b，把F（﹣2，0），B（1，）代入得：，解得：，∴直线BF的解析式为y=x+；

（4）存在．

抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=x2﹣x=﹣，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣）．

∵OF=OB=2，∴△OBF为顶角为120°的等腰三角形，当AM=AO=2时，点M与点C′重合，△BOF与△AOM相似，此时M（3，），当OM=OA时，点M与点C′关于直线x=1对称，△BOF与△AOM相似，此时M（﹣1，），当MA=MO时，点M为抛物线的顶点时，∠OAM=120°，△BOF与△AOM相似，此时M（1，﹣）．

综上所述：满足条件的M点的坐标为（3，）或（﹣1，）或（1，﹣）．