Question

如图，直线y=

1

2

x+b分别于x轴、y轴相交于A、B，与双曲线y=

k

x

（其中x＞0）相交于第一象限内的点p（2，y₁）．作PC⊥x轴于C，已知△APC的面积为9．
（1）求双曲线所对应函数关系式；
（2）在（1）中所求的双曲线上是否存在点Q（m，n）（其中m＞0），作QH⊥x轴于H，当QH＞CH时，使得△QCH与△AOB相似？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据两个函数的解析式及其与x轴的交点坐标和表示出P点的坐标根据三角形的面积k值从而求出双曲线的函数解析式．
（2）利用（1）我们可以求出△AOB各边的长，然后利用三角形相似求出Q点的坐标就可以．

解答：解：（1）∵P在直线函数上
∴y₁=1+b
∵PC⊥x轴
∴PC=1+b
当y=0时，得x=-2b
∴AC=2+2b，OA=2b
∴

1

2

(2+2b)(1+b)=9
解得：b₁=-4，b₂=2
∵P点在第一象限，b＞-1
∴b=2，∴y₁=1+b=3，OA=4
∴P（2，3）∴3=

k

2

∴k=6
∴一次函数的解析式为：y=

1

2

x+2
双曲线的解析式为：y=

6

x

（2）由图得：当△QCH∽△ABO时
∴

CH

BO

=

QH

AO

∴

m-2

2

=

6 m

4

解得：m₁=3，m₂=-1
∵m＞0
∴m=3
∴Q（3，2）

点评：本题是一道反比例函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式、函数图象中三角形面积的运用、相似三角形的判定等知识点．