Question

9．已知AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E．
（1）AB=CE吗？为什么？
（2）AD＜$\frac{1}{2}$（AB+AC）吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）通过全等三角形的判定定理AAS证得△ABD≌△ECD，则该全等三角形的对应边相等，即AB=CE；
（2）由（1）知：△ABD≌△ECD得AB=CE，AD=DE，根据三角形的边角关系得到结论．

解答 解：（1）相等．
证明：∵AD为BC的中线，
∴BD=CD．
∵CE∥AB，
∴∠BAD=∠CED．
在△ABD与△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CED}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=CE；
（2）AD＜$\frac{1}{2}$（AB+AC），
证明：由（1）知：△ABD≌△ECD
∴AB=CE，AD=DE，
∵在△ACE中，
AE＜CE+AC，
即2AD＜AB+AC，
∴AD＜$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．三角形的边角关系，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．