Question

17．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是边AB，BC上的动点，点P从顶点A沿射线AB运动，点Q同时从顶点B沿射线BC运动，它们的运动速度都为1cm/s，设运动时间为t秒
（1）如图1，当P，Q点在AB，BC边上运动时，连接AQ，CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，求出它的度数；
（2）在P，Q运动的过程中，△PBQ能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请则求出此时t的值；
（3）如图2，当点P，Q分别运动到AB，BC的延长线上时，直线AQ，CP交于点M，当AM：PM=2：3时，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．
（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t．分别就①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．
（3）如图2中，作AN⊥BC于N，先证明AQ=PC，由△ABQ∽△AMP，得到$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BQ}{PM}$，即$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{2}{3}$，由此求出BQ，CQ，在Rt△ANQ中，利用勾股定理求出AQ，即可解决问题．

解答 解：（1）∠CMQ=60°，不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=$\frac{4}{3}$；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=$\frac{8}{3}$；
∴当第 $\frac{4}{3}$秒或第 $\frac{8}{3}$秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）如图2中，作AN⊥BC于N，
在△ABQ和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴AQ=PC，∠APC=∠AQP，
∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠PBC=∠CMQ，
∴∠ABC=∠ANP=60°，
∴△ABQ∽△AMP，
∴$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BQ}{PM}$，
∴$\frac{AM}{PM}$=$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{2}{3}$，
∵AB=4，
∴BQ=6，CQ=2，
在Rt△ANQ中，∵AN=2$\sqrt{3}$，NQ=4，
∴AQ=PC=$\sqrt{A{N}^{2}+N{Q}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴PC=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神，解题的关键是正确寻找全等三角形以及相似三角形，属于中考压轴题．