Question

1．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，D，E，F在BC上，且BD=DE=EF=FC．
（1）如果AB=AC，求证：tan∠BAD•tan∠CAF=$\frac{1}{9}$；
（2）如果AB≠AC，则上题中结论是否仍成立？如成立，请证明；如不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BD=x，则BC=4x，根据等腰直角三角形的性质得到DH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AB=2$\sqrt{2}$x，求得tan∠BAD=$\frac{DH}{AH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{3\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{1}{3}$，同理tan∠CAF=$\frac{1}{3}$，于是得到结论；
（2）过D作DH⊥AB于H，过F作FG⊥AC于G，得到FG∥AB，DH∥AC，推出△BDH≌△CFG，由全等三角形的性质得到DH=CG，BH=FG，通过△BDH∽△ABC，△CFG∽△ABC，得到$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DH}{AC}=\frac{BH}{AB}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{CF}{BC}$=$\frac{GF}{AB}=\frac{CG}{AC}$=$\frac{1}{4}$，于是得到$\frac{CG}{AG}=\frac{BH}{AH}$=$\frac{1}{3}$，等量代换得到$\frac{DH}{AG}=\frac{GF}{AH}$=$\frac{1}{3}$即可得到结论．

解答 证明：（1）设BD=x，则BC=4x，
如图1，过D作DH⊥AB于H，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴DH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AB=2$\sqrt{2}$x，
∴AH=AB-BH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
∴tan∠BAD=$\frac{DH}{AH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{3\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{1}{3}$，
同理tan∠CAF=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠BAD•tan∠CAF=$\frac{1}{9}$；

（2）成立，如图2，过D作DH⊥AB于H，过F作FG⊥AC于G，
∴FG∥AB，DH∥AC，
∴∠GFC=∠B，
在△BDH与△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHD=∠CGF}\\{∠B=∠GFC}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CFG，
∴DH=CG，BH=FG，
∵FG∥AB，DH∥AC，
∴△BDH∽△ABC，△CFG∽△ABC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DH}{AC}=\frac{BH}{AB}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{CF}{BC}$=$\frac{GF}{AB}=\frac{CG}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CG}{AC}=\frac{BH}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CG}{AG}=\frac{BH}{AH}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DH}{AG}=\frac{GF}{AH}$=$\frac{1}{3}$
∴tan∠BAD•tan∠CAF=$\frac{DH}{AH}•\frac{GF}{AG}$=$\frac{DH}{AG}=\frac{FG}{AH}$=$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．