Question

11．已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=12cm，高AH=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．
（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF=2：3时，求这个矩形零件的面积；
（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的判定方法得出△AGF∽△ABC，进而求出矩形零件的面积；
（2）利用已知求出S_△ABC，进而表示出EF，FG的长，再利用相似三角形的性质得出各边长，进而得出答案．

解答 解：（1）∵矩形零件的两边EF：GF=2：3，
∴设EF=2x，GF=3x，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{AK}{AH}$=$\frac{FG}{BC}$，
则$\frac{8-2x}{8}$=$\frac{3x}{12}$，
解得：x=2，
则EF=4cm，FG=6cm，
故这个矩形零件的面积为：24cm²；

（2）∵BC=12cm，高AH=8cm，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12×8=48（cm²），
∵矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9，
∴矩形零件DEFG的面积为：48×$\frac{4}{9}$=$\frac{64}{3}$（cm²），
设EF=acm，则FG=$\frac{64}{3a}$cm，
∵由（1）得：$\frac{AK}{AH}$=$\frac{FG}{BC}$，
∴$\frac{8-a}{8}$=$\frac{\frac{64}{3a}}{12}$，
解得：a₁=$\frac{8}{3}$，a₂=$\frac{16}{3}$，
当EF=a=$\frac{8}{3}$，则FG=8，此时EF：GF=$\frac{8}{3}$：8=1：3；
当EF=a=$\frac{16}{3}$，则FG=4，此时EF：GF=$\frac{16}{3}$：4=4：3．

点评 此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意表示出EF，FG的长是解题关键．