Question

12．有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图，动点P、Q分别以每秒1cm的速度从A点出发，P点沿$\widehat{AD}$运动到点D，Q点沿A→B→C→D方向运动．（π取3.14）
（1）P点运动2秒后，扇形POD的周长为多少？
（2）P点运动到BC的中点时，△AQD的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据扇形POD的周长=OP+OD+弧PD的长，弧PD的长=半圆的弧长-弧AP的长，由此即可计算．
（2）点Q运动到BC中点时，点Q运动到BC边上，根据S_△ADQ=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD即可计算．

解答 解：如图设⊙O与BC相切于点M，连接OM，
∴OM⊥BC，AO=OM=OD=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAB=∠B=∠OMB=90°，
∴四边形ABMO是矩形，
∵OA=OM，
∴四边形ABMO是正方形，
∴AB=CD=OM=2，
（1）P点运动2秒后，弧AP=2cm，
扇形POD的周长=OP+OD+弧PD=4+（π•2-2）=2+2π≈8.28cm．
（2）∵点Q运动到BC中点时，点Q运动到BC边上，
∴S_△ADQ=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

点评 此题考查了切线的性质，扇形的周长、三角形的面积等知识，理解题意是解题的关键，注意当点P在BC上时，S_△ADQ=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD，属于中考常考题型．