Question

15．已知：如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，线段DE与菱形对角线AC交于点F，点O是AC的中点，EO的延长线交边DC于点G
（1）求证：∠AED=∠FBC；
（2）求证：四边形DEBG是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）首先证明△CBF≌△CDF，从而得到∠FBC=∠FDC，然后由平行线的性质可知∠FDC=∠AED，从而可证得∠AED=∠FBC；
（2）连接BD，由菱形的性质可知；OB=OD，然后再证明OG=OE，从而可证得四边形DEBG是平行四边形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF=∠BCF，DC=BC．
在△DCF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BC}\\{∠DCF=∠BCF}\\{FC=FC}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BCF，
∴∠FBC=∠FDC．
∵DC∥AB，
∴∠FDC=∠AED．
∴∠AED=∠FBC．
（2）如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，
∴OD=OB．
∵DC∥AB，
∴∠GCO=∠EAO．
在△GCO和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOC=∠EAO}\\{OC=OA}\\{∠GCO=∠EAO}\end{array}\right.$，
∴△GCO≌△EAO，
∴OE=OG．
∴四边形DEBG是平行四边形．

点评 本题主要考查的是菱形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，证得OG=OE是解题的关键．