如图.在平面直角坐标系中.四边形OABC为矩形.点A.B的坐标分别为.直线y=-$\frac{3}{2}$x+b与y轴交于点P.与边OA交于点D.与边BC交于点E．(1)若直线y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面积.求b的值,的条件下.当直线y=-$\frac{3}{2}$x+b绕点P顺时针旋转时.与线段BC和x轴分别交于点N.M.问:是否存在ON平分∠CNM的情况?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=-$\frac{3}{2}$x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当直线y=-$\frac{3}{2}$x+b绕点P顺时针旋转时，与线段BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据直线平分矩形的面积，可得直线经过对角线的中点，根据待定系数法，可得b值；
（2）根据角平分线的性质，可得∠1与∠2的关系，根据平行线的性质，可得∠1与∠3，根据等腰三角形的判定，可得OM与MN的关系，根据解方程，可得M点坐标；根据自变量与函数值的关系，可得D点坐标，根据线段的和差，可得答案．

解答解：（1）如图1：

直线y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面积，得
直线y=-$\frac{3}{2}$x+b经过OB的中点F（6，3），
将F点坐标代入函数解析式，得-$\frac{3}{2}$×6+b=3．
解得b=12；
（2）存在ON平分∠CNM，
如图2：
，
∵ON平分∠CNM，
∴∠1=∠2．
由OA∥BC，得∠1=∠3．
∴∠2=∠3，
∴OM=MN．
设旋转后的直线解析式为y=kx+12，
当y=0时，kx+12=0，解得x=-$\frac{12}{k}$，即M（-$\frac{12}{k}$，0）；
当y=6时，kx+12=6，解得x=-$\frac{6}{k}$，即N（-$\frac{6}{k}$，6）．
由OM=MN，得OM²=MN²，即（-$\frac{12}{k}$）²=（-$\frac{12}{k}$+$\frac{6}{k}$）²+6²，
解得k=-$\sqrt{3}$，k=$\sqrt{3}$（不符合题意，舍）
OM的长为M点的横坐标，-$\frac{12}{k}$=-$\frac{12}{-\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$，即M（4$\sqrt{3}$，0）；
y=-$\frac{3}{2}$x+12与x轴的交点为D，
当y=0时，-$\frac{3}{2}$x+12=0，解得x=8，即D（8，0）；
MD=8-4$\sqrt{3}$．