Question

17．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．

解答 解：设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，
∵AD∥BC，
∴$\frac{C′D}{BC}$=$\frac{A′D}{A′C}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{x+2}$，
解得，x₁=$\sqrt{5}$-1，x₂=-$\sqrt{5}$-1（舍去），
∵AB∥CD，
∴∠ABA′=∠BA′C，
tan∠BA′C=$\frac{BC}{A′C}$=$\frac{2}{\sqrt{5}-1+2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴tan∠ABA′=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．