Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别为E、F，请问OF与CD有怎样的数量关系？

Answer 1

考点：三角形中位线定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：连接AO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，根据同弧所对的圆周角相等可得∠G=∠ADB，再根据等角的余角相等求出∠DAE=∠BAG，然后根据相等的圆周角所对的弦相等可得CD=BG，根据垂径定理可得AF=BF，从而得到OF是△ABG的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OF=

1

2

BG．

解答：解：OF=

1

2

CD．
理由如下：如图，连接AO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，
则∠G=∠ADB，
∵AC⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∵AG是直径，
∴∠BAG+∠G=90°，
∴∠DAE=∠BAG，
∴CD=BG，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，
∴OF是△ABG的中位线，
∴OF=

1

2

BG，
故OF=

1

2

CD．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，作辅助线构造出以OF为中位线的三角形是解题的关键．