Question

已知：如图，BD是⊙O的直径，过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P，过B点作BC∥PA交⊙O于C，连接AB、AC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若PA=10，PB=5，求⊙O的半径和AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC∥AP， ∴∠1=∠2， ∵PA切圆于点A， ∴∠1=∠C， ∴∠2=∠C， ∴AB=AC； （2）解：连接AD， 由圆周角定理得：∠C=∠D， ∵∠1=∠C， ∴∠1=∠D， 又∠P=∠P， ∴△PDA∽△PAB， ∴PA2=PB·PD， 即102=5×（5+2×OB）， ∴OB=，即圆O的半径为； ∵△PDA∽△PAB， ∴， ∴AD=2AB， 在Rt△ABD中，由勾股定理得： BD2=AB2+AD2， 即152=AB2+（2AB）2， ∴AB=3， 由（1）知，AB=AC， ∴AC=．