Question

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径，∠ACB=45°，过A点的AC的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）如果AD=$\sqrt{2}$，求图中阴影的面积．

Answer 1

分析 （1）由BD为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=45°，推出△ADE与△ABD是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接AO，则∠AOD=90°，根据勾股定理得到AO=OD=1，根据图形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∵AE⊥AC，
∴△ADE与△ABD是等腰直角三角形，
∴AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△ABE与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAB=∠CAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD；

（2）连接AO，则∠AOD=90°，
∵AD=$\sqrt{2}$，
∴AO=OD=1，
∴S_阴影=S_扇形-S_△AOD=$\frac{90•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．