Question

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标．
（注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-

b

2a

）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）已知抛物线的顶点为A（2，1），设抛物线为顶点式，把点O（0，0）代入即可求解析式；
（2）由抛物线的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），根据对称性得出与x轴的另一个交点B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）将点P（m，-m）代入y=-

1

4

（x-2）²+1，得出-m=-

1

4

（m-2）²+1，解方程求出m的值，得到P点坐标，再根据对称性即可求出P关于抛物线对称轴对称点Q的坐标．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）²+1，
将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，
解得a=-

1

4

．
所以二次函数的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+1；

（2）∵抛物线y=-

1

4

（x-2）²+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），
∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），
∴△AOB的面积=

1

2

×4×1=2；

（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-

1

4

（x-2）²+1上一点，
∴-m=-

1

4

（m-2）²+1，
解得m₁=0（舍去），m₂=8，
∴P点坐标为（8，-8），
∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．

点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，难度适中．充分利用抛物线的对称性是解题的关键．