Question

19．如图，已知等边△ABC以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）请判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）首先得出△OCE是等边三角形，进而利用平行线的判定与性质得出EF⊥EO，即可得出答案；
（2）直接利用三角形中位线的性质得出AE的长，再利用直角三角形的性质得出答案．

解答 解：（1）EF是⊙O的切线，
理由：连接EO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵EO=CO，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠EOC=∠B=60°，
∴EO∥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥EO，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵EO∥AB，
∴EO是△ACB的中位线，
∵AC=8，
∴AE=CE=4，
∵∠A=60°，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°，
∴AF=2，
∴BF=6，
∵FH⊥BC，∠B=60°．
∴∠BFH=30°，
∴BH=3，
∴FH²=BF²-BH²，
∴FH=3$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了直线和圆的位置以及三角形中位线定理等知识，正确得出△OCE是等边三角形是解题关键．