Question

14．如图，已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．矩形EFGH的边GH在BC边长，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
（1）若EH=3，求EF的长．
（2）设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，推出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，由此即解决问题．
（2）用类似（1）的方法求出EF，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{EF}{12}$=$\frac{5}{8}$，
∴EF=$\frac{15}{2}$．

（2））∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{EF}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$（8-x），
∴S=x•$\frac{3}{2}$（8-x）=-$\frac{3}{2}$x²+12x=-$\frac{3}{2}$（x-4）²+24．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴S有最大值，最大值为24．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．