Question

如图，等边△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边△EPQ，连接FQ，EF．
（1）若等边△ABC的边长为20，且∠BPE=45°，求等边△EPQ的边长；
（2）求证：BP=EF+FQ．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等边三角形的性质得出BE=

1

2

AB=10，进而利用锐角三角函数关系得出EM，EP的长，即可得出答案；
（2）首先得出△EBN是等边三角形，进而得出△ENP≌△EFQ（SAS），则NP=FQ，求出BP=BN+NP=EF+FQ即可．

解答：（1）解：过点E作EM⊥BC于M
∵等边△ABC，
∴∠B=60°，
∵E为AB的中点，
∴BE=

1

2

AB=10，
在Rt△BEM中，sinB=

EM

BE

，
∴

3

2

=

EM

10

，
∴EM=5

3

，
在Rt△EMP中，sin∠EPM=

EM

EP

，
∴

2

2

=

5 3

EP

，
∴EP=5

6

，
即等边△EPQ的边长为5

6

；

（2）证明：取BC的中点N，连接NE，
∵等边△ABC，
∴AB=BC，
∵E为AB的中点，F为AC的中点，N为BC的中点，
∴EF=

1

2

BC，BE=

1

2

AB，BN=

1

2

BC，EF∥BC，
∴EF=BE=BN，
∵∠B=60°，
∴△EBN是等边三角形，
∴EN=BN=EF，∠ENB=60°，
∵EF∥BC，
∴∠FEN=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵等边△EPQ，
∴EP=EQ，∠PEQ=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△ENP和△EFQ中，

EN=EF ∠1=∠3 EP=EQ

，
∴△ENP≌△EFQ（SAS），
∴NP=FQ，
∴BP=BN+NP=EF+FQ．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，根据已知取BC的中点N，连接NE，进而得出△ENP≌△EFQ是解题关键．