Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，F为AD延长线上一点，且满足DF+BF=BC．若∠A=90°，AD=3，AB=5，BC=9，求BE的长．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）首先延长DF、BE交于点G，进而得出△EDG≌△ECB，即可得出AG，BG的长；
（2）利用已知得出∠FBG=∠G，再利用∠G=∠EBC，得出∠FBG=∠EBC，进而得出答案．

解答：（1）解：延长DF、BE交于点G，
∵E为DC中点，
∴DE=CE，
∵AD∥BC，
∴DG∥BC，
∴∠D=∠EBC，∠GDE=∠C，
在△EDG与△ECB中，

∠G=∠EBC ∠GDE=∠C DE=EC

，
∴△EDG≌△ECB（AAS）
∴BC=DG，BE=GE，
∵BC=9，
∴DG=9，
又AD=3，
∴AG=AD+DG=3+9=12，
∴BG=

AB2+AG2

=13，
∴BE=EG，
∴BE=

1

2

BG=

13

2

；

（2）证明：由（1）得DG=BC，
∵DF+BF=BC，
∴DF+BF=DG，
∴BF=FG，
∴∠FBG=∠G，
又∵∠G=∠EBC，
∴∠FBG=∠EBC，
即BE平分∠FBC..

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，利用已知得出△EDG≌△ECB是解题关键．