Question

在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，E、F分别是AD、BC上两点，并且AC垂直平分EF，垂足为O．
（1）连接AF、CE．说明四边形AFCE为菱形；
（2）求AF的长．

Answer 1

考点：矩形的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）首先证明△AOE≌△COE，进而得出EO=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可利用菱形的判定得出答案；
（2）设AF=FC=x，则BF=8-x，在Rt△ABF中利用勾股定理得到方程4²+（8-x）²=x²，求得x的值即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
∵EF平分AC，
∴AO=OC，
在△AOE和△COE中，

∠EAC=∠ACF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COE，
∴EO=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．

（2）设AF=FC=x，
则BF=8-x；
在Rt△ABF中，
AB²+BF²=AF²，
即：4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AC的长为5cm．

点评：本题考查了矩形的性质及菱形的判定，特别是在求线段AC的长时，采用了方程的数学思想，难度适中．