Question

1960年，数学家证明存在一个正整数n，使得133⁵+110⁵+84⁵+27⁵=n⁵，推翻了数学家欧拉的一个猜想．请你求出n的值．

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：综合题

分析：分以下几步解决问题：①先对n进行初步估值，133＜n＜200；②求出n的个位数，133⁵+110⁵+84⁵+27⁵的个位数字与133+110+84+27的个位数字相同；③确定n的十位数，根据同余定理，分别对3和7去除，利用余数探讨得出答案即可．

解答：解：①先对n进行初步估值，
133⁵+110⁵+84⁵+27⁵=n⁵，
∵133⁵＜10×100⁵，110⁵＜10×100⁵，84⁵＜1×100⁵，27⁵＜1×100⁵，
∴133⁵+110⁵+84⁵+27⁵＜22×100⁵＜200⁵，
∴133＜n＜200；
②求出n的个位数
133⁵+110⁵+84⁵+27⁵=n⁵，
由乘方末尾数字的循环规律可知：
（133⁵+110⁵+84⁵+27⁵）的末尾数字与（133+110+84+27）的末尾数字相同是4；
③求n的十位数
由结论①，等式两边对3同余，
∴133⁵+110⁵+84⁵+27⁵≡n⁵（mod3），
而133⁵+110⁵+84⁵+27⁵≡1⁵+2⁵+0⁵+0⁵≡0（mod3），
∴n⁵能被3整除，
∴n能被3整除，
∴n=144或174，
仍由结论①，等式两边对7同余，
而133⁵+110⁵+84⁵+27⁵≡0⁵+5⁵+0⁵+6⁵≡2（mod7），
∴n⁵≡2（mod7），
又∵144⁵≡2（mod7）；174⁵≡4（mod7），
∴n=144．

点评：此题考查整数的综合运算，注意抓住数字的特点，灵活运用估算，乘方的末尾数字规律，以及同余的知识探究得出答案即可．