Question

18．如图，在菱形ABCD中，E为AD边的中点，BE与对角线AC交于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：FC=2AF；
（2）若∠1=∠2，CD=2$\sqrt{3}$，求FG的值．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形△AEF∽△CBF的对应边成比例进行证明；
（2）由全等三角形△AEF≌△AGF（SAS）的对应角相等推知BE⊥AD，结合三角形内角和定理求得∠2=30°，则通过解直角△BFG来求FG的长度．

解答 （1）证明：如图，在菱形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，则△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$．
又∵E为AD边的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{AF}{CF}$，即FC=2AF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠3=∠4，∠1=∠4，AB=AD，
∵∠1=∠2，
∴∠4=∠2，
∴AF=FB，
∵FG⊥AB，
∴GF垂直平分AB，
∴AG=BG，
∵E为边AD的中点，
∴AE=AG，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠3=∠4}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AEF=∠AGF=90°，
∴3∠2=90°，则∠2=30°，
∵AG=BG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴FG=$\sqrt{3}$•tan30°=1．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数、线段垂直平分线的性质等知识，有一定难度．