Question

5．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF=DE，AE的延长线与DF相交于点G．
（1）求证：∠CDF=∠DAE；
（2）如果DE=CE，求证：AE=3EG．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，得到AD=CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到∠CDF=∠DAE；
（2）过E作EH∥BF交DF于H，根据三角形中位线的性质得到EH=$\frac{1}{2}$CF，推出DE=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AD，求得EH=$\frac{1}{4}$AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE与△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠DCE}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠CDF=∠DAE；

（2）过E作EH∥BF交DF于H，
∵DE=CE，
∴EH=$\frac{1}{2}$CF，
∵△ADE≌△DCF，
∴DE=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴EH=$\frac{1}{4}$AD，
∵EH∥AD，
∴△GHE∽△GDA，
∴$\frac{GE}{GA}=\frac{EH}{AD}=\frac{1}{4}$，
∴AE=3EG．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定与和性质，三角形的中位线的性质，掌握的周长辅助线是解题的关键．