Question

15．阅读理解
（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是3；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=3⁶，a_n=3ⁿ；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2⁹的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2⁹①，将①式两边同乘以2，得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰②，由②减去①式，得S=$\frac{{5}^{10}-5}{4}$．
（3）利用（2）的方法，求1+5+5²+5³+…+5⁹．

Answer 1

分析 （1）寻找规律即可解决问题．
（2）利用等式的性质构造两个等式，S=1+2+2²+2³+…+2⁹①，2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰②，②-①即可解决问题．
（3）解法类似（2）．

解答 解：（1）∵a₁=3，a₂=9=3²，a₃=27=3³，a₄=81=3⁴，
∴每一项与前一项之比是3，a₆=3⁶，a_n=3ⁿ，
故答案分别为3，3⁶，3ⁿ．
（2）∵S=1+2+2²+2³+…+2⁹ ①，
2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰    ②，
②-①得S=2¹⁰-1，
故答案为2¹⁰-1．
（3）设S=1+5+5²+5³+…+5⁹      ①，
5S=5+5²+5³+5⁴+…+5¹⁰        ②
②-①得4S=5¹⁰-5，
∴S=$\frac{{5}^{10}-5}{4}$．
故答案为$\frac{{5}^{10}-5}{4}$．

点评 本题考查规律题、学会利用等式的性质，构造两个等式，再利用解方程组的思想解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．