Question

18．已知抛物线y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C
（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△ABC外接圆的圆心Q的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上一定存在点P，使得∠APB=∠ACB，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）令x=0得y=-1，从而得到点C的坐标，令y=0得：$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-1=0，求得方程的解，从而得到点A与点B的坐标；
（2）过AB的中点，作直线l⊥AB，则点Q在直线l上．设点Q的坐标为（1，a）．因为QA=QC依据两点间的距离公式列出关于a的方程可求得a的值，从而的点点Q的坐标；
（3）作△ABC的外接圆Q．过圆心Q作QD⊥AB交圆Q与点P，作点P关于x轴的对称点P′．由圆周角定理可知∠ACB=∠APB，接下来依据勾股定理可求得AQ的长，由点Q的坐标以及QP的长可求得点P的坐标，依据关于x轴对称的点的坐标特点可求得点P′的坐标．

解答 解：（1）∵令x=0得y=-1，
∴C（0，-1）．
∵令y=0得：$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-1=0，整理得：x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2，
∴A（-2，0）、B（4，0）．
（2）如图1所示：过AB的中点，作直线l⊥AB，则点Q在直线l上．

∵A（-2，0）、B（4，0），
∴点Q的横坐标为1．
设点Q的坐标为（1，a）．
∵Q是△ABC的外接圆的圆心，
∴QA=QC．
∴$\sqrt{{3}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（a+1）^{2}}$，解得：a=3.5．
∴点Q的坐标为（1，3.5）．
（3）如图2所示：作△ABC的外接圆Q．过圆心Q作QD⊥AB交圆Q与点P，作点P关于x轴的对称点P′．

由圆周角定理可知∠ACB=∠APB．
由（2）可知QD=3.5，AD=3．
在Rt△ADQ中，由勾股定理可知：AQ=$\sqrt{{3}^{2}+3．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{2}$
∵AQ=QP，
∴点P的坐标为（1，-$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）．
∵点P与点P′关于x轴对称，
∴∠AP′B=∠APB=∠ACB，P′（1，$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）．
综上所述，点P的坐标为（1，-$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）或P′（1，$\frac{\sqrt{85}-7}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了外角形的外接圆的性质、圆周角定理、勾股定理、两点间的距离公式、轴对称图形的性质，掌握本题的辅助线的做法是解题的关键．