Question

5．如图，菱形ABCD，∠ABC=120°，点P是AC上一动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则对角线AC的长是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 本题作点M关于AC的对称点M′，根据轴对称性找出点P的位置，从而求出菱形的边长，然后分别求出菱形的两条对角线的长度．

解答 解：作M点关于AC的对称点M′，连接M′N，则与AC的交点P′即是P点的位置．
∵点M、N分别是边AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，当PM+PN最小时P在AC的中点，
此时，AB=PM+PN=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
连接BD，则BD=AB=2，
AC=2MN=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故答案是：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴菱形的性质、对称--最短路线问题及菱形的性质．正确确定P点的位置是解题的关键．