Question

15．如图，菱形ABCD中，G是BC中点，连接AG，作CF⊥AB于F交AG于M，AE⊥BC交CF于H，现过D作DN平行等于MC；连接CN．
（1）若CH=9，求AH的长；
（2）求证：CN=MG+AG．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC，只要证明∠BCA=∠BAC，∠BAE=∠BCF即可得到∠HAC=∠HCA，由此即可解决问题．
（2）延长AG到K，使得GK=GM，连接BK，CK，想办法证明△ABK≌△CDN即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴∠BCA=∠BAC，
∵AE⊥BC，CF⊥AB，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
∴∠B+∠BCF=90°，∠B+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠HAC=∠HCA，
∴AH=HC=9．
（2）证明：如图2中，延长AG到K，使得GK=GM，连接BK，CK，BM，
∵BG=GC，GM=GK，
∴四边形FBKC是平行四边形，
∴CM=BK=DN，BK∥CF，
∵DN∥CM，
∴∠CDN=∠FCD=∠CFB=90°，
∴∠ABK+∠BFC=180°，
∴∠ABK=∠CDN=90°，
在△ABK和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABK=∠CDN}\\{BK=DN}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△CDN，
∴CN=AK=AG+GK=AG+GM．
∴CN=AG+GM．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊四边形，属于中考常考题型．