Question

16．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当动点P、Q同时运动2s时，则BP=1cm，BQ=2cm．
（2）当动点P、Q同时运动t（s）时，分别用含有t的式子表示；BP=（3-t）cm，BQ=tcm．
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间即可求得；
（2）根据路程=速度×时间即可求得；
（3）根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．

解答 解：（1）BQ=1×2=2（cm），BP=3-2=1（cm），
故答案为1，2；
（2）BP=（3-t） cm，BQ=tcm，
故答案为（3-t），t；
（3）根据题意，得AP=t cm，BQ=t cm．
在△ABC中，AB=BC=3 cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm．
在△PBQ中，BP=（3-t）cm．，BQ=tcm，
若△PBQ是直角三角形，
则只有∠BQP=90°或∠BPQ=90°
①当∠BQP=90°时，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），解得t=1；
②当∠BPQ=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
即3-t=$\frac{1}{2}$t．解得t=2．
答：当t=1s或t=2s时，△PBQ是直角三角形．

点评 本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．