Question

17．已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；
（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）欲证明GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB即可解决问题．
（2）①先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解决问题．
②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，
∴CB与CE重合，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∵BG=AD=BF，
∴∠BGF=∠BFG=45°，
∴∠A=∠BGF=45°，
∴GF∥AC．
（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，
∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，
∵∠ACD=∠ECF，
∴∠ACE=∠DCF，
∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，
∴∠CAE=∠CDF，
∴A、D、M、C四点共圆，
∴∠CMF=∠CAD=45°，
∴∠CMD=180°-∠CMF=135°．
（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM=∠OAD，即可证明∠CMF=∠CDM+∠DCM=∠CAO+∠OAD=∠CAD=45°）

②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．
∵AD=DB，CA=CB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由①可知A、D、M、C四点共圆，
∴当α从90°变化到180°时，
点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，
∵OA=OC，CD=DA，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴$\widehat{CD}$的长=$\frac{90π•1}{180}$=$\frac{π}{2}$．
∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．