Question

5．如图1，AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为F，E是AB上一点，AE=CE．

（1）延长OE与弧AC相交于点M，求证：点M是弧AC中点；
（2）如图2，点G在AB上，连接DG，OG，延长DG，与EC相交于点H，若DG=AG．求证：∠DHC=2∠EOG；
（3）在（2）的条件下，若∠EOG=60°，CH=2，AB=8．求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA、OC、AC，由OA=OC，AE=CE可知OE垂直平分线段AC，所以根据垂径定理可知点M是弧AC的中点；
（2）如图2中，连接OA、AC、OC、OD，OC与DH交于点M．只要证明∠DHC=∠DOC，∠DHC=2∠EOG，即可解决问题．
（3）如图3中，延长DH交⊙O于M，延长CE交⊙O于P，连接CM，DP，OD，OC，OH，作OQ⊥AB于Q，OK⊥DM于K，ON⊥DC于N．首先证明△CHM，△DHP是等边三角形，根据弦心距相等弦相等由OQ=OK推出AB=DM，在Rt△OKH中，由∠OHK=30°，KH=2，求出OK，在Rt△ODN中，由∠DON=60°，DN=OD•sin60°，求出DN即可解决问题．

解答 解：（1）连接OA，OC，AC，

∵OA=OC，AE=CE，
∴点O，E在线段AC的垂直平分线上，
∴OM⊥AC，
∴点M是弧AC中点；

（2）如图2中，连接OA、AC、OC、OD，OC与DH交于点M．

∵OE=OE，OA=OC，AE=EC，
∴△OEA≌△OEC，
∴∠OAE=∠OCE，∠AOE=∠EOC，
∵OG=OG，OA=OD，AG=DG，
∴△OGA≌△OGD，
∴∠OAG=∠ODG=∠OCE，∠GOA=∠GOD，
∵∠OMD=∠HMC，
∴∠DHC=∠DOC，
∵∠EOG=∠GOA-∠EOA=$\frac{1}{2}$（∠GOA+∠GOD-$\frac{1}{2}$AOC）=$\frac{1}{2}$（∠DOC+∠AOC）-$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠DOC，
∴∠DHC=2∠EOG．

（3）如图3中，延长DH交⊙O于M，延长CE交⊙O于P，连接CM，DP，OD，OC，OH，作OQ⊥AB于Q，OK⊥DM于K，ON⊥DC于N．

由（2）可知∠OGA=∠OGD，
∵OQ⊥GA，OK⊥GD，
∴OQ=OK，
∴AB=DM=8，
∵∠DHC=∠DOC=2∠EOG，∠EOG=60°，
∴∠DOC=120°，
∴∠M=∠MHC=60°，
∴△HCM是等边三角形，
∴CH=HM=CM=2，
∵∠P=∠PHD=60°，
∴△PHD是等边三角形，
∴DH=DM--HM=6，DK=KM=4，KH=2，
在Rt△OKH中，∵∠OHK=30°，KH=2，
∴OK=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=$\sqrt{D{K}^{2}+O{K}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，
在Rt△ODN中，∵∠DON=60°，
∴DN=OD•sin60°=$\sqrt{13}$，
∵ON⊥DC，
∴CD=2DN=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查圆的综合问题、垂径定理、勾股定理、垂直平分线的判定、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．