在一个平面河岸l同侧有A.B两个村庄.A.B到l的距离分别为3km和2km.AB=xkm.现计划在河岸l上建抽水站P.用输水管道向两个村庄供水．方案设计:方案一:设该方案中管道长度为y1.且y1=PB+BA.其中PB⊥l于点P,方案二:设该方案中管道长度为y2.且y2=PA+PB.其中点A′于点A关于l对称.A′B与l交于点P．就x的所有取值情� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

在一个平面河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别为3km和2km，AB=xkm（x＞1），现计划在河岸l上建抽水站P，用输水管道向两个村庄供水．
方案设计：
方案一：设该方案中管道长度为y₁，且y₁=PB+BA，其中PB⊥l于点P；
方案二：设该方案中管道长度为y₂，且y₂=PA+PB，其中点A′于点A关于l对称，A′B与l交于点P．
就x的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应如何选择这两种方案？

分析方案一：PB⊥l于点P，y₁=PB+BA，代入即可得到结论；
方案二：如图1，作点A关于l对称A′，连接A′B与l交于点P，过B作 BC⊥AA′于C，根据勾股定理得到BC²=x²-1，求得A′B=$\sqrt{B{C}^{2}+A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+24}$，于是得到y₂=PA+PB=PA′+PB=$\sqrt{{x}^{2}+24}$；
分类进行讨论当y₁＞y₂，y₁=y₂，y₁＜y₂时就可以分别求出x的范围，从而确定选择方案．

解答解：方案一：∵PB⊥l于点P，y₁=PB+BA，
∴y₁=（2+x）km；
方案二：如图1，作点A关于l对称A′，连接A′B与l交于点P，
过B作 BC⊥AA′于C，
则AC=1，AB=x，A′C=5，
∴BC²=x²-1，
∴A′B=$\sqrt{B{C}^{2}+A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+24}$，
∴y₂=PA+PB=PA′+PB=$\sqrt{{x}^{2}+24}$；
∵y₁²-y₂²=（x+2）²-（$\sqrt{{x}^{2}+24}$）²=4x-20，
∴①当4x-20＞0，即x＞5时，y₁＞y₂；
∴选择方案二铺设管道较短．
②当4x-20=0，x=5时，y₁=y₂；
∴选择方案一、二铺设管道一样长；
③当4x-20＜0，即x＜5时，y₁＜y₂．
∴选择方案一铺设管道较短．
综上可知：当x＞5时，选方案二；
当x=5时，选方案一或方案二；
当1＜x＜5 时，选方案一．