Question

7．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（-2，-2），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
（1）若点P（m，5）是反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）一次函数y=2kx-1（k为常数，k≠0）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b为常数，a≠0）的图象上有且只有一个“梦之点”A（c，c），令t=b²+4a，当-2＜b＜2时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；
（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“梦之点”A（c，c），可得ac²+（b-1）c+1=0，再根据一元二次方程ac²+（b-1）c+1=0的两个相等实根，可得t的取值范围．

解答 解：（1）∵点P（m，5）是反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，
∴m=5，
∴P（5，5），
∴n=5×5=25，
∴这个反比例函数的解析式为y=$\frac{25}{x}$；

（2）存在．
理由：设“梦之点”是（a，a），把（a，a）代入y=2ka-1得，a=2ka-1，
解得a=$\frac{1}{2k-1}$，即“梦之点”是（$\frac{1}{2k-1}$，$\frac{1}{2k-1}$），
故函数y=3x-5的图象上的“梦之点”是（$\frac{1}{2k-1}$，$\frac{1}{2k-1}$）；

（3）∵二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个不同的“梦之点”A（c，c），
∴关于c的二元一次方程c=ac²+bc+1有唯一解，
则△=（b-1）²-4a=0，
得4a=（b-1）²，
代入t=b²+4a，得t=2b²-2b+1，
是关于b的抛物线，其中自变量b的取值范围是-2＜b＜2，
由图可知t的取值范围是$\frac{1}{2}$≤t＜13．

点评 本题考查的是二次函数综合题、反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．