Question

11．如图，在△ABC中，AB＞AC，BC的垂直平分线DF交△ABC的外角平分线AD于点D，DE⊥AB于点E．求证：BE-AC=AE．

Answer 1

分析 过点D作DG⊥CA交CA的延长线于点G，连接DC，DB，利用全等三角形的判定和性质证明即可．

解答 证明：如图所示，过点D作DG⊥CA交CA的延长线于点G，连接DC，DB．

∵AD是△ABC的外角平分线，DE⊥AB，DG⊥CA，
∴DE=DG．
∵DF垂直平分BC，
∴DC=DB，
在Rt△CDG与Rt△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{DC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDG≌Rt△BDE，
∴CG=BE．
∵∠GAD=∠EAD，∠AGD=∠AED，AD=AD，
在△ADG与△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠EAD}\\{∠AGD=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ADE，
∴AG=AE，
∴CG=AE+AC，
∴BE=AE+AC，
∴BE-AC=AE．

点评 此题主要考查了角平分线性质和全等三角形的判定等知识，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键．