Question

16．如图，点A的坐标是（-2，0）点B的坐标是（4，0），一次函数y=x+3的图象是直线l，点P（a，b）在直线l上．
（1）若点P在第二象限内，设△OPA的面积为S，求S关于a的函数关系式，并求a的取值范围；
（2）若一次函数y=x+3的图象与x轴的交点为C，当a取何值时△CPB是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求得直线l与x轴的交点坐标以及AO的长，再根据点P（a，b）在直线l：y=x+3上，确定点P离x轴的距离，最后根据三角形的面积计算公式，求得S关于a的函数关系式和a的取值范围；
（2）先判断△COD是等腰直角三角形，再分两种情况进行讨论：∠CP₁B是直角和∠CBP₂是直角，分别求得a的值．

解答 解：（1）在一次函数y=x+3中，当y=0时，x=-3，
∴直线l与x轴交于（-3，0），
∵点A的坐标是（-2，0），
∴AO=2，
∵点P（a，b）在直线l：y=x+3上，
∴b=a+3，
∴△OPA的面积=$\frac{1}{2}$×AO×|y_P|，
即S=$\frac{1}{2}$×2×|b|，
∵点P在第二象限内，
∴S=$\frac{1}{2}$×2×（a+3）=a+3（-3＜a＜0）；

（2）如图，在一次函数y=x+3中，当x=0时，y=3，
∴直线l与y轴交于D（0，3），
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°，
①当∠CP₁B是直角时，△BCP₁是等腰直角三角形，
此时，BC=4-（-3）=7，点P₁在第一象限，离x轴的距离为3.5，离y轴的距离为0.5，
∴P₁（0.5，3.5）；
②当∠CBP₂是直角时，△BCP₂是等腰直角三角形，
此时，BP₂=BC=4-（-3）=7，点P₂在第一象限，离x轴的距离为7，离y轴的距离为4，
∴P₂（4，7），
综上所述，当a取0.5或4时，△CPB是直角三角形．

点评 本题主要考查了两条直线相交问题，解决问题的关键是掌握三角形面积的计算方法，以及等腰直角三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．