Question

6．如图，已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，3），（6，4），一辆汽车从原点O出发在x轴上行驶．
（1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标；
（2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标；
（3）汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？请在图中画出这个位置，并求出此时汽车到两村距离的和．

Answer 1

分析 （1）（2）由垂线段的性质求解即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴与点C，点C即为所求，最后依据两点间的距离公式求得A′B的距离即可．

解答 解：（1）由垂线段最短可知当汽车位于（2，0）处时，汽车距离A点最近；
（2）由垂线段最短可知当汽车位于（6，0）处时，汽车距离B点最近；
（3）如图所示：点C即为所求．

∵由轴对称的性质可知：AC=A′C，
∴AC+BC=A′C+BC=A′B=$\sqrt{（6-2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{65}$．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短、两点间的距离公式、垂线段的性质，明确当点A′、C、B在一条直线上时点C到A、B两点的距离之和最短时解题的关键．