Question

如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…如此进行下去得到四边形A_nB_nC_nD_n．则四边形A₃B₃C₃D₃的面积

 

，四边形A_nB_nC_nD_n的面积

 

．

Answer 1

分析：由三角形的中位线的性质知，B₁C₁=

1

2

BD=3，B₁A₁=

1

2

AC=2，故矩形A₁B₁C₁D₁的面积为6，可以得到故四边形A₂B₂C₂D₂的面积是A₁B₁C₁D₁的面积的一半，以此类推可得四边形A₃B₃C₃D₃的面积；
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形A_nB_nC_nD_n的面积为 12×(

1

2

) n．

解答：解：点A₁，D₁分别是AB、AD的中点，
∴A₁D₁是△ABD的中位线
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，
同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=

1

2

BD
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，
∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°
∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；
由三角形的中位线的性质知，B₁C₁=

1

2

BD=3，B₁A₁=

1

2

AC=2，
得：四边形A₁B₁C₁D₁的面积为6；四边形A₂B₂C₂D₂的面积为3；
∴四边形A₃B₃C₃D₃的面积=

3

2

．
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形A_nB_nC_nD_n的面积为：12×(

1

2

) n．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，以及三角形的中位线的性质，处理此类问题，要灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决有关线段和面积等有关的问题．