Question

11．观察下列算式：
①1×3-2²=-1
②2×4-3²=-1
③3×5-4²=-1
（1）请你安照以上规律写出第四个算式：④4×6-5²=-1；
（2）这个规律用含n（n为正整数，n≥1）的等式表达为：（2n-1）（2n+1）-（2n）²=-1；
（3）你认为（2）中所写的等式一定成立吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接写出算式；
（2）按每个数的规律分别找出并组合即可；
（3）把（2）中的式子左边按多项式乘以多项式法则进行化简，发现等式成立．

解答 解：（1）④4×6-5²=-1，
故答案为：④4×6-5²=-1，
（2观察算式发现：
左边：第一个数依次为1、3、5，是连续奇数，表示为2n-1，
第2个数为：3、4、5，也是连续奇数，表示为2n+1，
第三个数依次为：1²、2²、3²，因此表示为n²，
右边都为-1
所以（2n-1）（2n+1）-（2n）²=-1
故答案为：（2n-1）（2n+1）-（2n）²=-1；
（3）左边=（2n-1）（2n+1）-（2n）²=4n²-1-4n²=-1
所以（2）中所写的等式一定成立．

点评 本题是数字类变化与计算的综合问题，本题中每个数字变化都比较简单，是常用的奇数、平方等；对于问题（3）常用的解题思路是化简．