Question

13．已知关于x的函数y=mx²-（2m+3）x+am+b（m、a，b为常数）            
（1）当b=3时，a满足什么条件时，无论m为何值．函数与x轴始终有交点，并给出证明；
（2）当a=-3、b=1时，无论m为何值，函数始终会经过两个固定的点，请直接写出这两个定点的坐标：（-1，4）和（3，-8）；
（3）当a=-1、b=1时，函数y=mx²-（2m+3）x+am+b与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁≠x₂，当m的值为多少时，A、B两点之间的距离最小？

Answer 1

分析 （1）由题意△=（2m+3）²-4m（am+3）=4（1-a）m²+9，所以1-a≥0时，△＞0，函数与x轴始终有交点．
（2）当a=-3，b=1时，可得y=mx²-（2m+3）x-3m+1=m（x²-2x-3）-3x+1，由题意x²-2x-3=0，解得x=-1或3，所以无论m为何值，函数始终会经过点（-1，4）和（3，-8）．
（3）当a=-1、b=1时，y=mx²-（2m+3）x-m+1，由题意x₁+x₂=$\frac{2m+3}{m}$，x₁x₂=$\frac{-m+1}{m}$，推出AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2m+3}{m}）^{2}-4×\frac{-m+1}{m}}$=$\sqrt{9（\frac{1}{m}）^{2}+\frac{8}{9}（\frac{1}{m}）+8}$=$\sqrt{9（\frac{1}{m}+\frac{4}{9}）^{2}+\frac{56}{9}}$，由此即可利用二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）结论：a≤1时，论m为何值．函数与x轴始终有交点，
∵b=3时，函数y=mx²-（2m+3）x+am+3，
又∵△=（2m+3）²-4m（am+3）=4（1-a）m²+9，
∴1-a≥0时，△＞0，函数与x轴始终有交点．

（2）当a=-3，b=1时，
y=mx²-（2m+3）x-3m+1
=m（x²-2x-3）-3x+1，
由题意x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴无论m为何值，函数始终会经过点（-1，4）和（3，-8）．
故答案为（-1，4）和（3，-8）．

（3）当a=-1、b=1时，y=mx²-（2m+3）x-m+1，
由题意x₁+x₂=$\frac{2m+3}{m}$，x₁x₂=$\frac{-m+1}{m}$，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{（\frac{2m+3}{m}）^{2}-4×\frac{-m+1}{m}}$
=$\sqrt{9（\frac{1}{m}）^{2}+\frac{8}{9}（\frac{1}{m}）+8}$
=$\sqrt{9（\frac{1}{m}+\frac{4}{9}）^{2}+\frac{56}{9}}$，
∴$\frac{1}{m}$=-$\frac{4}{9}$时，AB的值最小，最小值为$\frac{2\sqrt{14}}{3}$．
∴m=-$\frac{9}{4}$时，AB的值最小．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，所以中考常考题型．