Question

如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，PC=，设OC=x，PD²=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当时，求tanB的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED．
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：①连接OP．
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=x²+192．
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=x²+144．
∴y=x²+144（0≤x≤）．
（x取值范围不写不扣分）
②当x=时，y=147，
∴PD=，
∴EC=，
∵CB=，
∴在Rt△ECB中，tanB===．
分析：（1）要证PD是⊙O的切线只要证明∠PDO=90°即可；
（2）①分别用含有x，y的式子，表示OP²和PD²这样便可得到y关于x的函数关系式；
②已知x的值，则可以根据关系式求得PD的值，已PC的值且PD=PE，从而可得到EC，BE的值，这样便可求得tanB的值．
点评：此题考查了学生对切线的判定及综合解直角三角形的能力．