Question

如图，点P是半圆O的直径BA延长线上的动点（不与点A重合），以PO为直径的半圆C与半圆O交于点D，∠DPB的平分线与半圆C交于点E，过E作EF⊥AB于点F，EG∥PB交PD于点G，连接GA．
（1）求证：PD是半圆O的切线；
（2）若EF=

1

4

AB，当GA与半圆O相切时，求tan∠POE的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD．利用圆周角定理即可推知OD⊥PD；
（2）如图2，延长OE交CD于点K，设OF=x，EF=y，由2中知，OA=OK=2OE=2y，易得四边形AFEG是矩形，有GE=AF=OA-OF=2y-x．由于GE∥AB，点E是OK的中点，则EG是△PCK的OC对的中位线，所以PO=2GE=2（2y-x），进一步得到PF=PO-OF=4y-3x，由Rt△PEF∽Rt△EOF则有EF²=CF•OF，由此得到关于x，y的方程，变形即可求出

y

x

=3或

y

x

=1，进而确定tan∠POE的值．

解答：（1）证明：如图1，∵PO为直径，点D在半圆C上，
∴∠PDO=90°（直径所的对的圆周角是直角），
∴PD⊥OD．
又∵点D位于半圆O上，
∴PD是半圆O的切线；

（2）解：如图2，延长OE交CD于点K，
∵EF=

1

4

AB，
∴设OF=x，EF=y，则OA=2y，
∵GE∥CB，EF⊥CB，GA切半圆O于点A，
∴四边形AFEN是矩形，
∴GE=AF=OA-OF=2y-x；
∵PE是∠DPB的平分线，PE⊥OK，
∴点E是线段OK的中点，
∴G是PK的中点，
∴PO=2GE=2（2y-x），
∴PF=PO-OF=4y-3x，
∵EF⊥AB，PE⊥EO，
∴Rt△PEF∽Rt△EOF，
∴EF²=CF•OF，即y²=x（4y-3x），
解得，

y

x

=3或

y

x

=1，
当

y

x

=3时，tan∠POE=

EF

OF

=

y

x

=3，
当

y

x

=1时，点P点与点A重合，不符合题意，故舍去，
∴tan∠POE=3．

点评：本题利用了圆周角定理，直径对的圆周角定理是直角，角的平分线的性质，切线的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切的定义求解，利用的知识比较多，难度比较大．