Question

如图，AB=AC，AB⊥AC，AD=AE，AE⊥AD，B，C，E三点在同一条直线上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由（注意：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）探究DC与BE之间的位置关系，并说明理由；
（3）探究∠CAE与∠CDE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）依据SAS即可求得．
（2）由△ACD≌△ABE，可得∠ACD=∠B=45°，然后根据∠ACD+∠ACB=90°即可求得．
（3）根据∠CDE+∠AEC=45°，∠CAE+∠AEC=∠ACB=45°即可求得．

解答：（1）△ACD≌△ABE，
证明：∵AB⊥AC，AE⊥AD，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

∴△ACD≌△ABE（SAS），

（2）DC⊥BE，
证明：∵AB=AC，AB⊥AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
由（1）可知△ACD≌△ABE，
∴∠ACD=∠B=45°，
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°，
∴DC⊥BE．

（3）∠CAE=∠CDE，
证明：∵AD=AE，AE⊥AD，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∵∠CDE+∠AEC+∠AED=90°，
∴∠CDE+∠AEC=45°，
∵∠CAE+∠AEC=∠ACB=45°，
∴∠CAE=∠CDE．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，两直线垂直的判定等．