Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，$sinB=\frac{3}{5}$．
（1）求⊙C的半径r；
（2）求弦AD的长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACB中利用∠B的正弦可计算出AC的长；
（2）作CH⊥AD于H，如图，则根据垂径定理得到AH=DH，再根据等角的余角相等得到∠B=∠ACH，则在Rt△ACH中，利用∠ACH的正弦可计算出AH，从而得到AD的长．

解答 解：（1）在Rt△ACB中，∵sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AC=$\frac{3}{5}$×10=6，
即⊙C的半径r=6；
（2）作CH⊥AD于H，如图，则AH=DH，
∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACH=90°，
∴∠B=∠ACH，
在Rt△ACH中，∵sin∠ACH=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴AH=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$，
∴AD=2AH=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了解直角三角形．