Question

20．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，CB交⊙O于C，AC=2$\sqrt{6}$，CD=3，求⊙O的直径长．

Answer 1

分析 连接AD，在Rt△ACD中可求得AD，再证明△ACD∽△BCA，利用相似三角形的性质可求得AB的长，即可求得⊙O的直径．

解答 解：
连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-{3}^{2}}$$\sqrt{15}$，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAD=∠B，
∴△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$，即$\frac{\sqrt{15}}{AB}$=$\frac{3}{2\sqrt{6}}$，
解得AB=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，即⊙O的直径长为2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查切线的性质及相似三角形的判定和性质，由条件证得三角形相似是解题的关键．