Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　）

①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③△APD一定是等腰三角形；④PD＝EC．

A.①②④B.②④C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接PC，由正方形的性质得出∠ABP＝∠CBP＝45°，然后由SAS证明△ABP≌△CBP，得出AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，由矩形的性质得出EF＝PC，PF＝EC，再判断出△PDF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可，△APD只有点P为BD的中点或PD＝AD时是等腰三角形，即可得出结果．

解：连接PC，如图所示：

在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，

∵在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四边形PECF是矩形，

∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，

∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①②正确；

∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，

∴△PDF是等腰直角三角形，

∴PD＝PF，

∵矩形的对边PF＝EC，

∴PD＝EC，故④正确；

只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故③错误；

综上所述，正确的结论有①②④，

故选：A．