Question

17．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置，此时AC'的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AD=3，则△AEC的面积为（　　）

• A． 12
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，根据正切的概念求出CD，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．

解答 解：由旋转的性质可知：AC=AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$CE，
∴CE=2DE，
CD=$\sqrt{3}$AD=3$\sqrt{3}$，
∴EC=2$\sqrt{3}$，
∴△AEC的面积=$\frac{1}{2}$×EC×AD=3$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点，清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．