Question

7．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=4，求该矩形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式，确定k的范围．
（2）把k=4代入原方程，利用根与系数的关系，求出矩形的面积．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，
即[-（k+1）]²-4×$（\frac{1}{4}{k}^{2}+1）$＞0，
解得k＞$\frac{3}{2}$
即当k＞$\frac{3}{2}$时，方程有两个不相等的实数根．
（2）当k=4时，原方程为：x²-5x+5=0，
若该方程的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系，得x₁•x₂=5
因为方程的两根恰好是一个矩形的两邻边的长，
所以该矩形的面积=x₁•x₂=5．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式及跟与系数的关系．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．