Question

6．如图，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A（2，0）和点B，直线y=x+1分别与x轴、y轴交于点C和点D，两直线交于第一象限内的点E，并且点D为CE的中点．
（1）求直线y=kx+b的解析式；
（2）过点D作DF∥x轴，交直线y=kx+b于点F，则△DEF的面积为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）过E作EH⊥y轴于H，由y=x+1，求得D的坐标为（0，1）C（-1，0），再证得△COD≌△EHD，根据全等三角形的判定得到EH=OC=1，DH=OD=1，即可求得E点的坐标由待定系数法即可求得直线y=kx+b的解析式；
（2）根据三角形的中位线定理求得DE，由E（1，2），D的坐标为（0，1），求得E到DF的距离为，根据三角形的面积公式即可求得结论．

解答 解：（1）过E作EH⊥y轴于H
把x=0代入y=x+1，得y=1，
∴D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
把y=0代入y=x+1，得x=-1，
∴C（-1，0），
∵点D为CE的中点，
∴△COD≌△EHD，
∴EH=OC=1，DH=OD=1，
∴E（1，2），把A，E点的坐标代入y=kx+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线y=kx+b的解析式为y=-2x+4；
（2）把y=0代入y=-2x+4，得x=2，
∴A（2，0），
∴AC=3，
∵D为CE的中点，DF∥x轴，
∴F为EA的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∵E（1，2），D的坐标为（0，1），
∴E到DF的距离为1，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了直线与坐标轴的交点坐标的求法，三角形全等的性质和判定，待定系数法求一次函数的解析式，通过全等三角形求得E点的坐标是解题的关键．