Question

如图，AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB．过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若CD=CF=2，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理由AE是⊙O直径得到∠ADE=90°，而AD=DC，根据等腰三角形的判定方法得到EA=EC，则∠AED=∠CED，由于∠F=∠CED，所以∠AED=∠F，易得∠F+∠EAD=90°，即∠AEF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到EF是⊙O切线；
（2）根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△AEF，利用相似比可计算出AE=2

3

，则CE=AE=2

3

，在Rt△ADE中，利用勾股定理计算出DE=2

2

，
再由AE是⊙O直径得到∠ABE=90°，则根据面积法得到

1

2

CE•AB=

1

2

DE•AC，则可计算出AB=

4 6

3

，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理计算BE．

解答：（1）证明：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∴ED⊥AC，
∵AD=DC，
∴EA=EC，
∴∠AED=∠CED，
∵∠F=∠CED，
∴∠AED=∠F，
而∠AED+∠EAD=90°，
∴∠F+∠EAD=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴EF是⊙O切线；
（2）∵CD=CF=2，
∴AD=CD=CF=2，
∵∠ADE=∠AEF，∠DAE=∠EAF，
∴△ADE∽△AEF，
∴AE：AF=AD：AE，即AE：6=2：AE，
∴AE=2

3

，
∴CE=AE=2

3

，
在Rt△ADE中，DE=

AE2-AD2

=

(2 3 )2-22

=2

2

，
∵AE是⊙O直径，
∴∠ABE=90°，
∴

1

2

CE•AB=

1

2

DE•AC，
∴AB=

2 2 ×4

2 3

=

4 6

3

，
在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=

2 3

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和勾股定理．