Question

12．如果抛物线y=2x²-2ax+2a+1与y=x²-（b-2）x+b的顶点相同，问：自变量x在什么范围内，两函数都随x的增大而增大？

Answer 1

分析 把抛物线解析式可化为顶点式，求得两抛物线的顶点坐标，由条件可得到关于a、b的方程组，可求得a、b的值，可求出对称轴，根据二次函数的增减性可得出答案．

解答 解：∵y=2x²-2ax+2a+1=2（x-$\frac{a}{2}$）²+2a+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$，y=x²-（b-2）x+b=（x-$\frac{b-2}{2}$）²+b-$\frac{（b-2）^{2}}{4}$，
∴两抛物线的顶点坐标分别为（$\frac{a}{2}$，2a+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$）、（$\frac{b-2}{2}$，$\frac{（b-2）^{2}}{4}$），
∵两抛物线的顶点坐标相同，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=\frac{b-2}{2}}\\{2a+1-\frac{{a}^{2}}{2}=b-\frac{（b-2）^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴两抛物线的对称轴为x=1，且开口向上，
∴当x≥1时，两函数随x的增大而增大．

点评 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式方程是解题的关键．